矩阵特征向量与特征值

最近学习LDA，需要计算特征值与特征向量，就重新学习了一波

特征值的计算使用Python比较简单，需要导入numpy的linalg计算。
linalg是linear algebra的缩写吧。

先导入Numpy

import numpy as np

随机生成一个矩阵A

A = np.random.rand(4, 4)

A
array([[0.14978175, 0.60689778, 0.02583363, 0.46816227],
       [0.28508934, 0.74476942, 0.48711273, 0.75551799],
       [0.54103663, 0.57551838, 0.16542061, 0.06687122],
       [0.99511415, 0.07225251, 0.67671701, 0.80672535]])

我们使用lambda表示特征值，使用W表示特征向量

lambda,W = np.linalg.eig(A)

我们注意到特征值和特征变量都含复数部分

Lambda
array([ 1.90910151+0.j        , -0.16902995+0.48364592j,
       -0.16902995-0.48364592j,  0.29565552+0.j        ])

W
array([[-0.37740651+0.j        , -0.0403403 +0.46883807j,
        -0.0403403 -0.46883807j,  0.17922515+0.j        ],
       [-0.62172554+0.j        , -0.30567755+0.1341112j ,
        -0.30567755-0.1341112j , -0.39087808+0.j        ],
       [-0.34506145+0.j        ,  0.61011431+0.j        ,
         0.61011431-0.j        , -0.67479126+0.j        ],
       [-0.59325734+0.j        , -0.09427735-0.5348002j ,
        -0.09427735+0.5348002j ,  0.59979116+0.j        ]])

设Sigma为一个对角阵，对角线上的值是特征值

Sigma = np.array(np.identity(4),dtype=complex)
for i in range(4):
  Sigma[i,i] = Lambda[i]

这里np.identity(4)表示生产一个单位矩阵，dtype=complex表示Sigma这个矩阵中含有复数部分。

Sigma
array([[ 1.90910151+0.j        ,  0.        +0.j        ,
         0.        +0.j        ,  0.        +0.j        ],
       [ 0.        +0.j        , -0.16902995+0.48364592j,
         0.        +0.j        ,  0.        +0.j        ],
       [ 0.        +0.j        ,  0.        +0.j        ,
        -0.16902995-0.48364592j,  0.        +0.j        ],
       [ 0.        +0.j        ,  0.        +0.j        ,
         0.        +0.j        ,  0.29565552+0.j        ]])
``\

下面参与测试的数学公式的原代码如下：

这是一个行内公式：$P = frac{C_a^k cdot C_b^{n-k}}{C_{a+b}^n}$

这是两个单行公式：
$$P = frac{C_a^k cdot C_b^{n-k}}{C_{a+b}^n}$$

$$ P = frac{C_a^k cdot C_b^{n-k}}{C_{a+b}^n} $$